Lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng
hạn mô tả hệ động lực, hệ thống mạng điện, những bài toán điều khiển , đòi hỏi
phải giải và xét tính chất nghiệm những hệ phương trình dạng:
'0Ax Bx
trong
đó
, ( )
m
A B L
hoặc
, ( , ), det 0
m
A B L I A
gọi là hệ phương trình vi phân đại
số. Một trong những lớp đơn giản nhất của các hệ phương trình đại số là hệ
phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Trường hợp
det 0A 
ta dễ dàng đưa hệ trên
về hệ
1
'x A Bx


(những phương trình này được coi là có chỉ số 0), nghĩa là hệ
phương trình vi phân thường được xem là một trường hợp riêng của hệ phương
trình vi phân đại số. Rất nhiều bài toán và kết quả của hệ phương trình thường
được xét đối với hệ phương trình vi phân đại số. Trong luận văn này, chúng tôi
trình bày các kết quả của các tác giả René Lamour-Roswitha Marz and Renate
Winkler, Đào Thị Liên, Phạm Văn Việt về lý thuyết Floquet đối với các hệ
phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, từ đó tác giả đưa ra tiêu chuẩn ổn
định của nghiệm tuần hoàn của hệ phi tuyến. Trong bài báo “How Floquet
Theory Applies to Index 1 Differential Algebraic Equations”, René Lamour-
Roswitha Marz and Renate Winkler, nhiều kết quả chưa được chứng minh hoặc
chỉ chứng minh vắn tắt. Luận văn này đã chi tiết các chứng minh và đưa ra
những ví dụ minh họa cho các kết quả quan trọng trong bài báo. Ngoài mở đầu,
kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ sở
Nội dung chương này là hệ thống các kết quả của lý thuyết Floquet đối với hệ
phương trình vi phân thường và các kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân
đại số.
Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1.
Đây là nội dung chính của luận văn. Ở đây các khái niệm được lấy ví dụ minh
họa, các kết quả được chứng minh chi tiết và có ví dụ áp dụng.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN

Tác giả chân thành cảm ơn TS Đào Thị Liên, trường Đại học Sư phạm -
Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin
được cám ơn Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả hoàn
thành Chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các thày, cô giáo.
Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT
Thượng Lâm-Na Hang-Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành
chương trình học tập. Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.







3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE) là hệ phương
trình dạng:

12
( , , , , ), ( 1, 2, , )
i
in
dy
f t y y y i n
dt

, (1.1.1)
trong đó
t
là biến độc lập (thời gian);
1
, ,
n
yy
là các hàm cần tìm,
i
f
là các hàm
xác định trong một bán trụ

 
0
,
t y t
T I D I t t

     
.
và
y
D
là một miền mở thuộc
n
.
Định nghĩa 1.1.2. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng


1
11 1 12 2 1 1
2
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
n
n n nn n n
dy
a t y a t y a t y f t
dt
dy
a t y a t y a t y f t
dt
dy
a t y a t y a t y f t
dt

    




    







    

(1.1.2)

trong đó
t
là biến độc lập và
1
( ), , ( )
n
y t y t
là các ẩn hàm cần tìm, các hàm
()
ij
at

và
()
i
ft
lần lượt được gọi là các hệ số và hệ số tự do của hệ. Chúng được giả
thiết là liên tục trên khoảng
( , )I a b
nào đó.
Dùng ký hiệu ma trận, có thể viết hệ (1.1.2) dưới dạng thu gọn

( ) ( )
dY
A t Y F t
dt

(1.1.3)
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
trong đó
( ) ( ( ))
ij
A t a t
là ma trận hàm cấp
1
, ( ) ( ( ), , ( ))
T
n
n n f t f t f t
là vector cột.
Nếu
( ) 0ft
, ta gọi hệ trên là hệ tuyến tính thuần nhất, ngược lại, ta gọi hệ trên
là hệ tuyến tính không thuần nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm
( ) ( )Z Z t a t   
của hệ

( , )
dY
F t Y
dt

(1.1.4)
trong đó
1
1
( , , )
n
n
y
Y colon y y
y






,

 
1
( , ) ( , ), , ( , )
n
F t Y colon f t Y f t Y


12
, , ,
n
dy
dy dy
dt dt dt
dY
colon
dt





được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi
t 
(hay ngắn gọn là ổn định),
nếu với mọi
0


và
0
( , )ta
, tồn tại
0
( , ) 0t
  

sao cho:
1. Tất cả các nghiệm
()Y Y t
của hệ (1.1.4) (bao gồm cả nghiệm
()Zt
)
thỏa mãn điều kiện
00
( ) ( )Y t Z t


(1.1.5)
xác định trong khoảng
0
[ , )t 
, tức là
()
Y
Y t D
khi

0
,)tt
.
2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn

( ) ( )Y t Z t


khi
0
tt  
(1.1.6)
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm
( ) ( )Z Z t a t   
được gọi là ổn định tiệm
cận khi
t 
, nếu:
1. Nó ổn định theo Lyapunov và
2. Với mọi
0
( , )ta
tồn tại
0
( ) 0t   
sao cho mọi nghiệm
()Yt

0
()tt  
thỏa mãn điều kiện
00
( ) ( )Y t Z t  
thì

lim ( ) ( ) 0
t
Y t Z t


(1.1.7)

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

1.1.2. Tính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính
Xét hệ vi phân tuyến tính (1.1.2), dưới dạng ma trận (1.1.3), trong đó
ma trận
()At
và véctơ
()Ft
liên tục trong khoảng
( , )a 
.
Giả sử
( ) ( ) (det ( ) 0)
ij
X t x t X t



(1.1.8)
là ma trận nghiệm cơ bản (tức là hệ nghiệm cơ bản được viết dưới dạng
()nn
-
ma trận) của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng

()
dY
A t Y
dt

(1.1.9)
tức là ma trận gồ m
n
nghiệm độc lập tuyến tính của (1.1.9):

 
 
(1)
11 1
()
1
( ) ( ), , ( ) ;

( ) ( ), , ( ) .
n
n
n nn
X t colon x t x t
X t colon x t x t










Nếu ma trận nghiệm cơ bản
()Xt
là chuẩn hóa tại
0
tt
, tức là
0
()
n
X t I
, thì

00
( ) ( , ) ( )Y t K t t Y t
(1.1.10)
với
1
00
( , ) ( ) ( )K t t X t X t



có dạng

0
( ) ( ) ( )Y t X t Y t
(1.1.11)
Định nghĩa 1.1.5. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) được gọi là ổn định
(hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm
()Y Y t
của nó tương ứng ổn định
(hoặc không ổn định) theo Lyapunov khi
t 
.
Định nghĩa 1.1.6. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) được gọi là ổn định
tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi
t 
.
Định lý 1.1.1. Điều cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định
với số hạng tự do bất kì
()Ft
là nghiệm tầm thường

0 0 0
0 ( , ( , ))Y t t t a     

của hệ thuần nhất tương ứng (1.1.9) ổn định.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.1.2. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định tiệm cận khi và chỉ
khi nghiệm tầm thường
0
0Y 
của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
(1.1.9) ổn định tiệm cận khi
t 
.
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9), trong đó
()At
liên tục trong
khoảng
( , )a 
.
Định lý 1.1.3. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) ổn định theo
nghĩa Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm
0
( ) ( )Y Y t t t   
của hệ đó bị chặn
trên nửa trục
0
tt  
.
Định lý 1.1.4. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) ổn định tiệm cận
khi và chỉ khi tất cả các nghiệm
()Y Y t
của nó dần tới không khi
t 
, tức là

lim ( ) 0
t
Yt


(1.1.12)
Xét hệ (1.1.9) trong đó
ij
Aa



là ma trận hằng
()nn
.
Định lý 1.1.5. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) với ma trận
hằng
A
ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng
()
ii
A


của
A
đều
có phần thực không dương.

Re ( ) 0 ( 1, 2, , )
i
A i n



và các nghiệm đặc trưng có các phần thực bằng không đều có ước cơ bản đơn.
Định lý 1.1.6. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) với ma trận
hằng
A
ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng
()
ii
A



của
A
đều có phần thực âm, tức là

Re ( ) 0 ( 1, , )
i
A i n




7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.1.3. Lý thuyết Floquet
Xét ODE với hệ số tuần hoàn

( ) ( ) ( ) 0x t W t x t


, (1.1.13)
trong đó
( , ( )), ( ) ( )
m
W C L W t W t T  
với
t
, giả sử (1.1.13) có ma trận
nghiệm cơ bản
()Xt
, với

( ) ( ) ( ) 0, (0)
n
X t W t X t X I

  
.
Định lý 1.1.7. (định lý Floquet [8]). Ma trận nghiệm cơ bản
()Xt
của
(1.1.13) có thể viết dưới dạng

0
( ) ( ) ,
tW
X t F t e
(1.1.14)
trong đó
1
( , ( ))
m
F C L
là không suy biến,
( ) ( )F t F t T
với
0
, ( ).
m
t W L  

Định lý 1.1.8. (định lý Lyapunov [9]). (i) Giả sử
1
( , ( ))
m
F C L
là
không suy biến và T-tuần hoàn. Khi đó
()x F t x
biến (1.1.13) thành ODE tuyến
tính thuần nhất với một ma trận hệ số T- tuần hoàn, nhân tử đặc trưng của
chúng trùng với nhân tử đặc trưng của (1.1.13).
(ii) Tồn tại
1
( , ( ))
m
F C L
không suy biến, T-tuần hoàn (
1
( , ( ))
m
F C L
không suy biến, 2T-tuần hoàn) với
(0)
n
FI
sao cho phép biến
đổi
()x F t x
biến (1.1.13) thành một hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.1.7. Các giá trị riêng
( 1,2, , )
i
in


của ma trận
0
W
tức là
nghiệm của phương trình
0
det ( ) 0,WI


được gọi là các số mũ đặc trưng của
hệ (1.1.13).
Định nghĩa 1.1.8. Các giá trị riêng
( 1, 2, , )
i
i n


của ma trận
()XT
,
tức là nghiệm của phương trình

det[ ( ) ] 0TXI


(1.1.15)
được gọi là các nhân tử.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.1.9. Với mọi nhân tử

tồn tại một nghiệm không tầm thường
()t

của hệ tuần hoàn (1.1.13), thỏa mãn điều kiện

( ) ( )t T t
 

(1.1.16)
Ngược lại, nếu đối với một nghiệm
()t

không tầm thường nào đó điều
kiện (1.1.16) được thỏa mãn thì số

sẽ là nhân tử của hệ đã cho.
Hệ quả. Hệ vi phân tuyến tính tuần hoàn (1.1.13) có nghiệm tuần hoàn
chu kì
T
khi và chỉ khi có ít nhất một nhân tử

của nó bằng 1.
Định lý 1.1.10. Hệ vi phân tuyến tính với ma trận hệ số liên tục và tuần
hoàn là khả qui.
Định lý 1.1.11. 1) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tuần hoàn với ma
trận liên tục là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nhân tử
( 1,2, , )
i
in


của nó
nằm trong hình tròn đơn vị đóng
1


và các nhân tử nằm trên đường tròn
1


đều có ước cơ bản đơn.
2) Hệ tuần hoàn ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nhân tử của
nó đều nằm trong hình tròn
1



Định lý 1.1.12. Nếu hệ tuần hoàn thuần nhất tương ứng của (1.1.3) là
(1.1.9) không có nghiệm tầm thường
T 
tuần hoàn, tức là tất cả các nhân tử của
nó khác
1( 1, )
i
i


, thì hệ (1.1.3) có nghiệm tuần hoàn duy nhất với chu kì
T
.
Định lý 1.1.13. Nếu hệ (1.1.3) có một nghiệm giới nội
( ) ( 0)Y tt
, thì
nó có nghiệm
T 
tuần hoàn.

9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Phép chiếu
( , )
mm
PL
(viết gọn là
()
m
PL
) là
một
()mm
- ma trận sao cho
2
PP
. Đối với mỗi phép chiếu
P
ta luôn có hệ
thức sau
ker
m
imP P

Ngược lại, với mỗi một sự phân tích
m
thành tổng trực tiếp của hai không gian
con
m
UV
,
luôn luôn tồn tại duy nhất một phép chiếu
P
sao cho
im P U
và
ker PV
.
Khi đó phép chiếu
P
được gọi là phép chiếu lên
U
dọc theo
V
. Rõ ràng rằng
Q I P
là phép chiếu lên
V
dọc theo
U
.
Phép chiếu
can
Q
lên
ker A
dọc theo
S
được gọi là phép chiếu chính tắc.
Định nghĩa 1.2.2. [5] Cặp ma trận
( , )AB
được gọi là chính qui nếu tồn
tại
z 
sao cho
det ( ) 0z A B
. Trường hợp ngược lại, ta gọi cặp
( , )AB
là
không chính qui.
Chú ý. Nếu cặp ma trận
( , )AB
chính qui thì
det( ) 0cA B
với hầu hết
giá trị c

.
Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi
()mm
-ma trận
A
, chỉ số của ma trận
A
là
số tự nhiên
k 
nhỏ nhất sao cho
1
ker ker
kk
AA


và được kí hiệu như sau

 
1
( ): min :ker( ) ker( )
kk
ind A k A A

  
.
Định nghĩa 1.2.4. [5] Nếu cặp ma trận
( , )AB
chính qui và
det( ) 0c A B
thì
1
(( ) )ind c A B A


được gọi là chỉ số của cặp ma trận
( , )AB
, ký
hiệu
1
.( , ): (( ) )ind A B ind cA B A



Chú ý. Trong [5] đã chỉ ra rằng chỉ số của cặp ma trận
( , )AB
không phụ
thuộc vào việc chọn số
c
.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Một số tính chất của cặp ma trận chính qui
( , )AB
(xem [5], [11]):
(i) Nếu cặp ma trận
( , )AB
chính qui thì cặp ma trận
( , )A B sA
cũng
chính qui với mọi
s
và

( , ) ( , )ind A B ind A B sA

(ii) Nếu cặp ma trận
( , )AB
chính qui,
( , )ind A B k
và
1
(( ) )
k
rank cA B A r


thì tồn tại các ma trận
, ( )
m
S T L
khả nghịch sao cho

( , ) ,
r
A S diag I N T

( , ) ,
mr
B S diag M I T



trong đó
0, 0
kl
NN
với mọi
lk
.
(iii) Nếu
( ), ( ) ( , ( ))
m
A t B t C J L
và
10
( , ) det ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )
d
d
t A t B t a t a t a t
    
     
, với
0
d
a 
trên
J
, thì tồn
tại các ma trận khả nghịch
, ( , ( ))
m
S T J L
sao cho
11
( ) 0
0
( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )
0
0 ( )
d
md
Mt
I
S t A t T t S t B t T t
I
Nt












trong đó
()Nt
là
k
-lũy linh tức là
( ) 0
k
Nt 
trên J và
( ) 0
l
Nt
với mọi
lk
.
Ngoài ra nếu
( ), ( ) ( , ( ))
im
A t B t C J L
( 0,1,2, , )in
và
degdet( ) :A B rankA r

  
với mọi
tJ

thì tồn tại các ma trận khả nghịch
( ), ( ) ( , ( ))
im
S t T t C J L
sao cho
11
( ) 0
0
( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )
0
00
d
mr
Mt
I
S t A t T t S t B t T t
I









(xem [11]).
Định lý 1.2.1. [5] Giả sử
()
m
AL
là ma trận suy biến,
()
m
BL
khi
đó 7 mệnh đề sau tương đương
(i) Cặp ma trận
( , )AB
chính qui chỉ số 1;
(ii) Từ
kerxA
và
Bx imA
kéo theo
0x 
;
(iii) Cặp ma trận
( , )AB
chính qui và
degdet ( ) ;A B rankA



(iv) Cặp ma trận
( , )A B AW
chính qui và
( , ) 1ind A B AW
với mỗi ma
trận
( );
m
WL

(v) Ma trận
:G A BQ
không suy biến với mỗi phép chiếu Q lên
ker A

Xem chi tiết: Lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1