Quan hệ giữa (P) và (d)

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Quan hệ giữa (P) và (d)": http://123doc.vn/document/545418-quan-he-giua-p-va-d.htm

Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Trớc hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ
bản thờng xuyên sử dụng sau:
Cho Parabol y=a'x
2
(P) và đờng thẳng y = ax + b (d)
Khi đó:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x
2
(P) và đờng
thẳng y=ax + b (d) là nghiệm của phơng trình:
a'x
2
= ax + b
<=> a'x
2
ax b = 0 (*)
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) không có điểm chung khi và
chỉ khi phơng trình (*) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp
xúc nhau) khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm kép và hoành
độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phơng trình đó.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi
và chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Bây giờ, chúng ta h y cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản củaã
mối quan hệ này:
Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng
thẳng (d) y = x + 6
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = x + 6 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= x + 6
x
2
x 6 = 0
= b
2
4ac
= (1)
2
4.1.( 6)
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
= 1 + 24
= 25
= 5
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
+ +
= = =
1
b 1 5
x 3
2a 2

= = =
2
b 1 5
x 2
2a 2
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và 2
Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng
thẳng (d) y = 5x + 4
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = 5x + 4 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 5x + 4
x
2
5x + 4 = 0
Vì a + b + c = 1 + (5) + 4 = 0 nên x
1
= 1; x
2
= 4
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4
Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
y x
2
và đờng
thẳng (d): y = 3x 4
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
y x
2
và đờng thẳng (d):
y = 3x 4 là nghiệm của phơng trình:
=
+ =
2
2
1
x 3x 4
2
x 6x 8 0
' = b'
2
ac
= (3)
2
1.8
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
= 9 8
= 1
=1'
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
+ +
= = =
1
b' ' 3 1
x 4
a 1

= = =
2
b' ' 3 1
x 2
a 1
Thay x
1
= 4 vào ta đợc y
1
= 8
Thay x
2
= 2 vào ta đợc y
2
= 2
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2)
Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
y x
3
và đờng
thẳng (a): y = 2x 3
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
y x
3
và đờng thẳng (a):
y = 2x 3 là nghiệm của phơng trình:
=
+ =
2
2
1
x 2x 3
3
x 6x 9 0
' = b'
2
ac
= (3)
2
1.9
= 9 9
= 0
Phơng trình có nghiệm kép:

= = = =
1 2
b' 3
x x 3
a 1
Thay x = 3 vào ta đợc y = 3
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)
Dạng 3: Chứng minh về vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng
thẳng.
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
y 4x
luôn tiếp xúc với đờng
thẳng (d): y = 4mx + m
2
khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 4x
2
với đờng thẳng
(d) y = 4mx + m
2
là nghiệm của phơng trình:
4x
2
= 4mx + m
2
4x
2
+ 4mx + m
2
= 0
= b
2
4ac
= (4m)
2
4.4.m
2
= 16m
2
16m
2
= 0 m
Phơng trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đ-
ờng thẳng (d) y = 4mx + m
2
khi m thay đổi.
Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
y x
luôn có điểm chung với đ-
ờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = 2(m 1)x 2m + 3 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2(m 1)x 2m + 3
x
2
2(m 1)x + 2m 3 = 0
' = b'
2
ac
= [(m 1)]
2
(2m 3)
= m
2
2m +1 2m + 3
= m
2
4m +4
= (m 2)
2
0 m
Phơng trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm
chung với đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi.
Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt
phẳng toạ độ giữa Parabol và đờng thẳng.
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
y 3x
cắt đờng thẳng (d): y =
5x 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 3x
2
với đờng thẳng (d)
y = 5x 2 là nghiệm của phơng trình:
3x
2
= 5x 2
3x
2
5x + 2 = 0
Ta có a + b + c= 3 + (5) + 2 = 0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
=
1
x 1
;
= =
2
c 2
x
a 3
Ta thấy hai nghiệm này cùng dơng. Suy ra hoành độ giao điểm đều d-
ơng. Do đó giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục
tung.
Ví dụ 8: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
y x
cắt đờng thẳng (d): y
= 2x 2007 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = -x
2
với đờng thẳng (d)
y = 2x 2007 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2x 2007
x
2
+ 2x 2007 = 0
Vì có a.c = 1.( 2007) < 0 nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Do đó giao điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.
Ví dụ 9: Cho Parabol (P)
=
2
y x
cắt đờng thẳng (D): y = 2(m +1)x
m
2
9. Tìm m để:
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) (D) tiếp xúc với (P).
c) (D) không cắt (P).
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (D)
y = 2(m +1)x m
2
9 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2(m +1)x m
2
9
x
2
2(m +1)x + m
2
+9= 0 (1)
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
' = b'
2
ac
= [(m + 1)]
2
(m
2
+ 9)
= m
2
+ 2m +1 m
2
9
= 2m 8
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (1) có hai
nghiệm phân biệt
<=> ' > 0
<=> 2m 8 > 0
<=> 2m > 8
<=> m > 4
Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (1) có nghiệm kép
<=> ' = 0
<=> 2m 8 = 0
<=> 2m = 8
<=> m = 4
Vậy với m = 4 thì (D) tiếp xúc với (P).
c) (D) không cắt (P) <=> Phơng trình (1) vô nghiệm
<=> ' < 0
<=> 2m 8 < 0
<=> 2m < 8
<=> m < 4
Vậy với m < 4 thì (D) không cắt (P).
Ví dụ 10: Cho Parabol (P)
=
2
y x
cắt đờng thẳng (D): y = 4x + 2m.
a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với (P).
b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và
B. Tìm toạ độ giao điểm khi
=
3
m
2
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (D)
y = 4x + 2m là nghiệm của phơng trình:
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
x
2
= 4x + 2m
x
2
4x 2m = 0 (*)
' = b'
2
ac
= (2)
2
(2m)
= 4 + 2m
a) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (*) có nghiệm kép
<=> ' = 0
<=> 4 + 2m = 0
<=> m = 2
Vậy với m = 2 thì (D) tiếp xúc với (P).
b) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
<=> ' > 0
<=> 4 + 2m > 0
<=> m > 2
Vậy với m > 2 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Khi
=
3
m
2
thì hoành độ giao điểm của A, B là nghiệm của phơng
trình:
x
2
4x 3 =0
' = b'
2
ac
= (2)
2
1(3)
= 4 + 3
= 7
=' 7
+
= = +
1
b' '
x 2 7
a

= =
2
b' '
x 2 7
a
Thay x
1
=2 +
7
vào ta đợc y
1
= 11 +4
7
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Thay x
1
=2
7
vào ta đợc y
1
= 11 4
7
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) là:
A(2 +
7
; 11 +4
7
); B(2
7
; 11 4
7
)
Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến giữa Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 11: Cho Parabol (P)
=
2
1
y x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại điểm M có
hoành độ 2.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) viết tiếp tuyến này song song
với đờng thẳng
=
1
y x 1
2
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;
3
2
) và tiếp xúc với (P).
Giải
Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b
a) Thay x = 2 vào phơng trình Parabol ta đợc y = 2
Vậy M(2; 2)
vì đờng thẳng đi qua M(2; 2) nên ta có:
2 = 2a + b => b = 2a 2 (1)
Mặt khác, đờng thẳng này là tiếp tuyến của (P) nên phơng trình:
= +
+ + =
2
2
1
x ax b
2
x 2ax 2b 0
' = 0
a
2
2b =0 (2)
Thay (1) vào (2) ta đợc: a
2
2(2a 2) = 0
a
2
4a +4 =0
(a 2)
2
= 0
a = 2
Với a = 2 thay vào (1) ta đợc b = 2.2 2 = 2
Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là:
y = 2x + 2
b)
Có nghiệm kép
Có nghiệm kép
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Vì tiếp tuyên song song với
=
1
y x 1
2
nên ta có a =
1
2
Suy ra phơng trình đờng thẳng có dạng
= +
1
y x b
2
Vì đờng thẳng này tiếp xúc với (P) nên phơng trình:

= +
2
1 1
x x b
2 2
có nghiệm kép
x
2
+ x

+ 2b = 0 (I) có nghiệm kép
= b
2
4ac
= 1
2
4.1.2b
= 1 8b
Để phơng trình (I) có nghiệm kép thì = 0
1 8b = 0
b =
1
8
Vậy phơng trình tiếp tuyên cần tìm là:
= +
1 1
y x
2 8
c)
Đờng thẳng (d) đi qua A(1;
3
2
) nên ta có:
= +
3
a b
2
=> b =
3
2
a (3)
Vì đờng thẳng tiếp xúc với Parabol nên phơng trình:
= +
+ + =
2
2
1
x ax b
2
x 2ax 2b 0(II)
Ta có: ' = a
2
2b
Để phơng trình (II) có nghiệm kép thì a
2
2b = 0 (4)
Thay (3) vào (4) ta đợc: a
2
2(
3
2
a) = 0
a
2
+ 2a 3 = 0
Suy ra a = 1 và a = 3
* Với a = 1 thay vào (3) ta đợc b =
1
2
Có nghiệm kép
Có nghiệm kép
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
* Với a = 3 thay vào (3) ta đợc b =

3
2
Vậy qua A(1;
3
2
) có hai tiếp tuyến với Parabol (P) là:
= +
1
y x
2
;
=
3
y 3x
2
Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tơng giao thoả mãn điều
kiện cho trớc.
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P)
=
2
y x
và
đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx 1
a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B
b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x
1
; x
2
. Chứng minh

1 2
x x 2
Giải
a) Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = mx 1 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= mx 1
x
2
+ mx 1= 0 (*)
= b
2
4ac
= m
2
4.1.( 1)
= m
2
+ 4 > 0 m
Vì > 0 m, nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Ta có x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (*) nên theo định lí
Vi-ét có: x
1
.x
2
= 1
=>
= +
1 2 1
2
1
x x x
x
Vì x
1
và
1
1
x

cùng dấu nên:
+ = + =
1 1 1
2 1 1
1 1 1
x x 2 x . 2
x x x
Vậy

1 2
x x 2
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Ví dụ 13: Cho Parabol (P) có phơng trình:
=
2
x
y
2
và đờng thẳng (D)
có phơng trình: y = mx m + 2
a) Tìm m để (P) và (D) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (D) luôn cắt (P) tại
hai điểm phân biệt.
c) Giảc sử (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P).
Chứng minh rằng: y
1
+y
2


(2
2
1)(x
1
+x
2
)
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
x
y
2
với đờng thẳng (D) y =
mx m + 2 là nghiệm của phơng trình:
= +
+ =
2
2
x
mx m 2
2
x 2mx 2m 4 0(**)
a) Để (D) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 thì x = 4 phải
là nghiệm của phơng trình (**).
Từ đó suy ra:
4
2
2m.4 +2m 4 = 0
=> m = 2
Vậy với m = 2 thì đờng thẳng (D) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có
hoành độ bằng 4.
b)
(D) và (P) tại hai điểm phân biệt <=> phơng trình (**) có hai nghiệm
phân biệt <=> ' > 0
<=> (m)
2
(2m 4) > 0
<=> m
2
2m +4 > 0
<=> (m 1)
2
+3 > 0 luôn đúng m
Vậy (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c)
Ta có (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) nên x
1
và x
2
là nghiệm của phơng trình (**)
Theo định lí Vi-ét x
1
+ x
2
=
=
b
2m
a
Ta lại có: y
1
= mx
1
m + 2; y
2
= mx
2
m + 2
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Suy ra:
y
1
+ y
2
= (mx
1
m + 2) + (mx
2
m + 2)
= m(x
1
+ x
2
) 2m + 4
= 2m
2
2m + 4
= [(
2
m)
2
4
2
m + 4] + (2
2
1).2m
= (
2
m 2)
2
+(2
2
1).2m
= (
2
m 2)
2
+(2
2
1).(x
1
+ x
2
) (vì x
1
+ x
2
= 2m)