(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường elip

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường elip ": http://123doc.vn/document/567150-hinh-hoc-10-chuong-iii-bai-giang-duong-elip.htm

(E)Ox = {A
1
, A
2
} có toạ độ là A
1
( a, 0), A
2
(a, 0) và đoạn thẳng A
1
A
2
gọi là
trục lớn của (E) có độ dài bằng 2a.
(E)Oy = {B
1
, B
2
} có toạ độ là B
1
(0, b); B
2
(0, b) và đoạn thẳng B
1
B
2
gọi là
trục nhỏ của (E) có độ dài bằng 2b.
Bốn điểm A
1
, A
2
, B
1
, B
2
gọi là bốn đỉnh của Elíp (E)
Lu ý: Hai tiêu điểm của Elíp (E) luôn ở trên trục lớn.
c. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đờng thẳng x
= a và các đờng thẳng y = b đợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E). Vậy Elíp (E)
nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có các kích thớc là 2a, 2b.
d. Từ M(x, y)(E)










1
b
y
1
a
x
2
2
2
2






b|y|
a|x|






byb
axa
.
4. Tâm sai của elíp
Tâm sai của Elíp là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của Elíp.
Đối với Elíp (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
, với a>b thì e =
a
c
.
Đối với Elíp (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
, với a<b thì e =
b
c
.
Chú ý:
1. Mọi Elíp đều có tâm sai nhỏ hơn 1.
2. Tâm sai e = 0 suy ra c = 0 a = b
Khi đó:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+

1
a
y
a
x
2
2
2
2
=+
x
2
+ y
2
= a
2
Elíp trở thành đờng tròn tâm O, bán kính bằng a.
phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Xác định các thuộc tính của Elíp (E).
Phơng pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu của Elíp (E) về dạng chính tắc
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
.
Bớc 2: Xét các khả năng:
Khả năng 1: Nếu a > b, ta đợc:
5
O
y
x
x
y
F
1
F
2
A
1
A
2


a
a
B
1
B
2
b


b
(E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài bằng 2a
chứa hai tiêu điểm
F
1
(c, 0), F
2
(c, 0) với c
2
= a
2
b
2
.
(E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài bằng 2b.
Tâm sai e =
a
c
.
Khả năng 2: Nếu a < b, ta đợc:
(E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa
hai tiêu điểm
F
1
(0, c), F
2
(0, c) với c
2
= b
2
a
2
.
(E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng 2a.
Tâm sai e =
b
c
.
Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (E) có dạng:
(E):
2
2
2
2
b
)y(
a
)x(
+

= 1.
ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ
OI
với I(, ) thành hệ trục IXY
với công thức đổi trục:



=
=
yY
xX




+=
+=
Yy
Xx
ta đợc:
(E):
1
b
Y
a
X
2
2
2
2
=+
từ đó chỉ ra các thuộc tính của (E) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (E)
trong hệ trục Oxy.
Ví dụ 1: Chuyển phơng trình các Elip sau về dạng chính tắc, từ đó xác định các
thuộc tính của nó và vẽ hình, biết:
a. (E): 4x
2
+ 9y
2
= 36.
b. (E): 25x
2
+ 16y
2
= 400.
Giải
a. Chuyển phơng trình của (E) về dạng:
(E):
1
4
y
9
x
22
=+
a = 3, b = 2 và c =
5
.
Suy ra (E) có các thuộc tính:
Tâm O(0, 0).
Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6 chứa 2 tiêu điểm F
1
(
5
, 0), F
2
(
5
, 0).
Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 4.
6
O
y
x
F
1
F
2
A
1
A
2
a
a
B
1
B
2
b
b
c

c
O
y
x
F
1
F
2
A
1
A
2
3
3
B
1
B
2
2
2


O
y
x
F
1
F
2
A
1
A
2

4
4
B
1
B
2
5

5
3

3
Tâm sai e =
3
5
.
b. Chuyển phơng trình của (E) về dạng:
(E):
1
25
y
16
x
22
=+
a = 4, b = 5 và c = 3.
Suy ra (E) có các thuộc tính:
Tâm O(0, 0).
Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 10 chứa 2 tiêu
điểm F
1
(0, 3), F
2
(0, 3).
Trục nhỏ thuộc Ox có độ dài bằng 8.
Tâm sai e =
5
3
.
Bài toán 2: Lập phơng trình của Elíp (E).
Phơng pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Elíp
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Từ đó cần tìm a, b (hoặc a
2
, b
2
) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với ẩn a,
b (hoặc a
2
, b
2
).
Cách 2: Sử dụng định nghĩa
Nếu biết hai tiêu điểm F
1
(x
1
, y
1
), F
2
(x
2
, y
2
) và độ dài trục lớn bằng 2a thì ta thực
hiện theo các bớc:
Bớc 1: Lấy điểm M(x, y)(E).
Bớc 2: Chuyển MF
1
+ MF
2
= 2a (1)
thành biểu thức giải tích nhờ:
2
1
2
1
2
1
)yy()xx(MF
+=
(2)
2
2
2
2
2
2
)yy()xx(MF
+=
(3)
Bớc 3: Suy ra
MF
1
MF
2
=
21
2
2
2
1
MFMF
MFMF
+

=
a2
)yy(y2)xx(x2)yy()xx(
2121
2
2
2
1
2
2
2
1
+
(4)
Bớc 4: Lấy (1) + (4) ta đợc MF
1
, rồi thay vào (2) ta sẽ đợc phơng trình của Elíp
(E).
Chú ý:
7
1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phơng trình
thích hợp. Trong trờng hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Elíp (E) có phơng
trình:
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
.
2. Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác ph-
ơng trình Elíp hoặc chứng minh tập hợp điểm là Elíp.
Ví dụ 2: Lập phơng trình chính tắc của Elíp (E), biết:
a. Trục lớn thuộc Oy có độ dài trục lớn bằng 26 và tâm sai e =
13
12
.
b. Elip đi qua các điểm M(4, 0) và N(2,
2
33
).
Giải
a. Từ giải thiết ta giả sử Elíp (E) có phơng trình
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
, với a<b.
Độ dài trục lớn bằng 26 2b = 26 b = 13.
Tâm sai e =
13
12
=
b
c
=
13
a13
22

a
2
= = 25.
Vậy Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
169
y
25
x
22
=+
.
b. Giả sử Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
.
Vì M(E)
1
a
16
2
=
a
2
= 16,
Vì N(2,
2
33
)(E)
1
b4
27
16
4
2
=+
b
2
= 9.
Vậy Elíp (E) có phơng trình:
1
9
y
16
x
22
=+
.
Ví dụ 3: Lập phơng trình chính tắc của Elíp (E) có tiệu cự bằng 6 và đi qua điểm A(
41
20
,
41
20
), từ đó xác định phơng trình tham số của nó.
Giải
Giả sử Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
.
8
Vì A(E)
1
b41
400
a41
400
22
=+
400(a
2
+ b
2
) = 41a
2
.b
2
. (1)
Elíp (E) có tiệu cự bằng 6 2c = 6 c = 3. (2)
Tới đây ta xét hai khả năng có thể xảy ra:
Khả năng 1: Nếu a>b thì:
(2) a
2
b
2
= 9. (3)
Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (3), ta đợc a
2
= 25 và b
2
= 16, suy ra:
(E
1
):
1
16
y
25
x
22
=+
và phơng trình tham số của (E
1
) có dạng:
(E
1
):



=
=
tcos4y
tsin5x
, t[0, 2).
Khả năng 2: Nếu a<b Bạn đọc tự làm
Bài toán 3: Vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng và elíp.
Phơng pháp thực hiện
1. Để xác định vị trí tơng đối của điểm M(x
M
, y
M
) với Elíp (E):
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
.
Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định phơng tích của M đối với Elíp (E) là:
p
M/(E)
=
2
2
M
2
2
M
b
y
a
x
+
.
Bớc 2: Kết luận:
Nếu p
M/(E)
<1 M nằm trong Elíp.
Nếu p
M/(E)
= 1 M nằm trên Elíp.
Nếu p
M/(E)
>1 M nằm ngoài Elíp.
Chú ý: Ta có các kết quả sau:
Nếu M nằm trong (E) không tồn tại tiếp tuyến của (E) đi qua M nhng khi đó
mọi đờng thẳng qua M đều cắt (E) tại 2 điểm phân biệt.
Nếu M nằm trên (E) tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (E) đi qua M (phơng trình
tiếp tuyến có đợc bằng phơng pháp phân đôi toạ độ).
Nếu M nằm ngoài (E) tồn tại hai tiếp tuyến của (E) đi qua M.
2. Bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi (E) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình
bằng số giao điểm của (d) và (E).
3. Với hai Elíp (E
1
) và (E
2
) có phơng trình:
9
(E
1
):
1
b
y
a
x
2
1
2
2
1
2
=+
và (E
2
):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=+
.
Nếu (E
1
) (E
2
) = {A, B, C, D} thì
a. ABCD là hình chữ nhật.
b. Phơng trình đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đờng tròn (C) tâm O
bán kính R = OA có phơng trình:
(C): x
2
+ y
2
=
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
baba
)aa(bb)bb(aa

+
.
Ví dụ 4: Cho điểm M(1, 1) và Elíp (E) có phơng trình:
(E):
4
y
9
x
22
+
= 1.
a. Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt.
b. Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua M và cắt Elíp trên tại hai điểm A, B sao
cho MA = MB.
Giải
a. Nhận xét rằng:
p
M/(E)
=
4
1
9
1
+
=
36
13
<1 M nằm trong Elíp
do đó mọi đờng thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt.
b. Nhận xét rằng đờng thẳng (d) không thể song song với Oy, do đó giả sử (d) có hệ
số góc k, ta đợc:
y = k(x 1) + 1 (d): y = kx k + 1. (1)
Toạ độ giao điểm A, B của (d) và (E) là nghiệm của hệ phơng trình :



+=
=+
1kkxy
36y9x4
22
4x
2
+ 9(kx k + 1)
2
= 36
(4 + 9k
2
)x
2
18k(k 1)x + 9k
2
18k 27 = 0 (2)
Phơng trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt x
A
, x
B
thoả mãn:







+

=
+

=+
2
2
BA
2
BA
k94
27k18k9
x.x
k94
)1k(k18
xx
.
10
Theo giả thiết MA = MB
x
A
+ x
B
= 2x
M

2
k94
)1k(k18
+

= 2 k =
9
4
.
Thay k =
9
4
vào (1), ta đợc đờng thẳng (d): 4x + 9y 13 = 0.
Bài toán 4: Điểm và elíp.
Phơng pháp thực hiện
Với Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
.
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Lấy điểm M(x
0
, y
0
)(E)
2
2
0
2
2
0
b
y
a
x
+
= 1.
Bớc 2: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x
0
, y
0
. Từ đó suy ra toạ độ
điểm M.
Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Chuyển phơng trình Elíp về dạng tham số:
(E):



=
=
tcosby
tsinax
, t[0, 2).
Bớc 2: Điểm M(E) M(a.sint, b.cost).
Bớc 3: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x
0
, y
0
. Từ đó suy ra toạ độ
điểm M.
Chú ý: Ta cần lu ý các trờng hợp sau:
1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công
thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là:
F
1
M = a +
a
cx
0
và F
2
M = a
a
cx
0
.
2. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đa bài toán về xét hệ thức lợng
trong tam giác.
3. Nếu điểm phải tìm là giao của Elíp với một đờng khác ta xét hệ phơng trình tơng
giao để tìm toạ độ giao điểm.
Ví dụ 1: Cho Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
8
y
2
x
22
=+
.
Tìm các điểm M thuộc Elíp (E) sao cho:
11
a. Có toạ độ nguyên thuộc (E).
b. Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .
Giải
Điểm M(x
0
, y
0
)(E)
1
8
y
2
x
2
0
2
0
=+
. (1)
a. Nhận xét rằng nếu điểm M(x
0
, y
0
)(E) M
1
(x
0
, y
0
), M
2
(x
0
, y
0
) và M
3
(x
0
, y
0
)
cũng thuộc (E). Do vậy ta chỉ cần xác định các điểm M
0
có toạ độ nguyên dơng.
Xét phơng trình (1) với ẩn y
0
:
(1)
2
0
y
= 8 4
2
0
x
.
Phơng trình có nghiệm
8 4
2
0
x
>0 0 < x
0

2
x
0
= 1 và y
0
= 2 M
0
(1, 2) (E).
Từ M
0
suy ra các điểm M
1
(1, 2), M
2
(1, 2) và M
3
(1, 2) cũng thuộc (E).
Vậy (E) có 4 điểm M
0
, M
1
, M
2
, M
3
có toạ độ nguyên.
b. Ta có:
(x
0
+ y
0
)
2
=
2
00
8
y
.8
2
x
.2








+
(2 + 8)








+
8
y
2
x
2
0
2
0
= 10
10
x
0
+ y
0

10
.
dấu bằng xảy ra khi:







=+
=
1
8
y
2
x
8
2
8/y
2/x
2
0
2
0
0
0






=+
=
1
8
y
2
x
x4y
2
0
2
0
00









)
5
104
,
5
10
(M
)
5
104
,
5
10
(M
5
4
.
Vậy, ta đợc:
(x
0
+ y
0
)
Max
=
10
, đạt đợc tại M
4
.
(x
0
+ y
0
)
Min
=
10
, đạt đợc tại M
5
.
B. bài tập rèn luyện
B. bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Cho họ đờng cong (E
m
) có phơng trình:
(E
m
): (m 2)x
2
my
2
= m
2
2m.
a. Tìm điều kiện của m để (E
m
) là một Elíp, từ đó xác định toạ độ các tiêu điểm.
b. Với điều kiện ở câu a) xác định phơng trình tham số của (E
m
).
Bài tập 2. Tìm tâm sai của Elíp biết:
a. Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dới một góc 2.
b. Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng k lần (k >
2
1
) tiêu cự.
Bài tập 3. Cho hai điểm F
1
( 4, 0), F
2
(4, 0) và điểm A(0, 3).
12
a. Lập phơng trình chính tắc của Elíp (E) đi qua điểm A và có 2 tiêu điểm là F
1
,
F
2
.
b. Xác định phơng trình tham số của (E).
Bài tập 4. Lập phơng trình chính tắc của Elíp (E), biết hai tiêu điểm là F
1
(1, 1),
F
2
(3, 3) và độ dài trục lớn bằng 12.
Bài tập 5. Cho 2 Elíp (E
1
) và (E
2
) có phơng trình:
(E
1
):
1
1
y
4
x
22
=+
, (E
2
):
1
9
y
1
x
22
=+
.
a. Chứng minh rằng (E
1
) (E
2
) = {A, B, C, D} và ABCD là hình chữ nhật.
b. Lập phơng trình đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Bài tập 6. Cho Elíp (E) có phơng trình:
(E):
4
x
2
+ y
2
= 1.
Tìm các điểm M thuộc Elíp (E) sao cho:
a. Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 7 lần bán kính qua tiêu điểm kia.
b. M nhìn hai tiêu điểm dới một góc 60
0
.
c. M nhìn hai tiêu điểm dới một góc 90
0
.
Bài tập 7. Cho Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
.
Từ điểm A(E) có toạ độ dơng, dựng hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong (E) có
các cạnh song song với các trục toạ độ. Xác định toạ độ của A để hình chữ nhật ABCD
có diện tích lớn nhất.
Bài tập 8. Cho Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
, với 0 < b < a.
1. Gọi A là một giao điểm của đờng thẳng y = kx với (E). Tính OA theo a, b, k.
2. Gọi A, B là hai điểm tuỳ ý thuộc (E) sao cho OAOB.
a. Chứng minh rằng
22
OB
1
OA
1
+
không đổi, từ đó suy ra đờng thẳng (AB)
luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.
b. Xác định k để OAB có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất đó.
Bài tập 9. Cho điểm A(5, 0) và Elíp (E) có phơng trình:
(E): 9x
2
+ 25y
2
= 225.
Giả sử M là điểm di động trên Elíp. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên trục
Oy. Giả sử AH cắt OM tại P. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên Elíp thì P luôn chạy
trên một đờng cong cố định.
Bài tập 10.Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và Elíp (E) , biết:
a. (d): 2x + y 5 = 0 và (E):
1
9
y
4
x
22
=+
.
13
b. (d): 2x y = 0 và (E):
1
8
y
2
x
22
=+
.
Bài tập 11.Cho điểm M(1,
2
1
) và Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
2
y
8
x
22
=+
.
Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:
a. M là trung điểm AB.
b. AB =
20
.
Từ đó lập phơng trình đờng tròn đờng kính AB trong mỗi trờng hợp.
Bài tập 12.Cho 2 Elíp (E
1
) và (E
2
) có phơng trình:
(E
1
):
1
4
y
9
x
22
=+
và (E
2
):
1
1
y
16
x
22
=+
a. Chứng minh rằng (E
1
) (E
2
) = {A, B, C, D} và ABCD là hình chữ nhật.
b. Lập phơng trình đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Bài tập 13.Cho Elíp (E) có phơng trình:
(E): 4x
2
+ 9y
2
= 36.
Tìm các điểm M thuộc Elíp (E) sao cho:
a. Có toạ độ nguyên.
b. Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .
c. Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 2 lần bán kính qua tiêu điểm kia.
Bài tập 14.Cho Elíp (E) có phơng trình:
(E):
1
25
y
9
x
22
=+
.
Tìm các điểm M thuộc Elíp (E) sao cho:
a. Có toạ độ nguyên.
b. Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .
c. Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu điểm kia.
d.
5
3
MF
MF
2
1
=
.
Bài tập 15.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2;
3
) và elip (E):
2 2
x y
1
3 2
+ =
.
Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm của (E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ
dơng của đờng thẳng AF
1
với (E); N là điểm đối xứng của F
2
qua M. Viết phơng trình
đờng tròn ngoại tiếp tam giác ANF
2
.
C. h
C. h
ớng dẫn
ớng dẫn


đáp số
đáp số
Bài tập 1.
a. Chuyển phơng trình của (E
m
) về dạng:
14